Matemàtica discreta

Temari

1. Combinatòria



1.1 Combinatòria enumerativa.

Principis enumeratius. Seleccions amb i sense repetició. Propietats dels nombres binomials. Nombres multinomials. El Principi d'Inclusió i Exclusió. Particions de conjunts i d'enters.



1.2 Estimació asimptòtica.

Estimació de sumes i productes, nombres harmònics, factorials. Comparació asimptòtica de funcions.



1.3 Successions recurrents i funcions generadores.

Resolució de recurrències per inducció i per expansió. Successions vistes com a sèries formals de potències. Sèries formals de potències i funcions generadores. Recurrències lineals amb coeficients constants. Funció generadora de particions d'enters.



2. Probabilitat discreta



Espais de probabilitat finits. Esperança i variància. Independència i probabilitat condicionada. Desigualtats de Markov i Txebyshev. Introducció al mètode probabilístic.



3. Teoria de grafs



3.1 Introducció. Recorreguts.

Definicions bàsiques. Isomorfisme de grafs. Recorreguts. Grafs connexos. Distància. Vèrtexs de tall i arestes pont. Connectivitat. Desigualtats de Whitney. Teorema de Menger.



3.2 Arbres.

Definició i caracterització d'arbres. Arbres generadors. Nombre d'arbres generadors.



3.3 Grafs eulerians i hamiltonians.

Circuits eulerians. Grafs eulerians. Carecterització de grafs eulerians. Cicles hamiltonians. Grafs hamiltonians. Condicions necessàries o suficients.



3.4 Planaritat, coloració i emparellaments

Grafs planaris. Fórmula d'Euler. Teorema de Kuratowski. Lema dels encreuaments. Coloració de grafs. No,mbre cromàtic. Emparellaments. Emparellaments en grafs bipartits.