Fonaments matemàtics

Temari

1. Nombres complexos



Com operar amb nombres complexos i com emprar-los per descomposar polinomis.



1 Nombres complexos. Forma cartesiana, polar i exponencial.

2 Operacions i propietats. Fórmula d'Euler.

3 Zeros de polinomis. Teorema fonamental de l'àlgebra.

4 Descomposició de polinomis en els reals i en els complexos.



2. Espais vectorials



Com determinar la dependència/independència lineal de vectors i calcular dimensions i bases de subespais.



1 Revisió de sistemes d'equacions lineals. Mètodes de Gauss i de Cramer.

2 Espais vectorials. Subespais vectorials.

3 Dependència/independència lineal de vectors.

4 Dimensió i base d'un espai vectorial.



3. Aplicacions lineals



Aplicacions lineals i com calcular-ne el nucli i la imatge i dimensions. La seva interpretació per resoldre sistemes. Vectors i valors propis.



1 Aplicacions lineals. Matriu associada a l'aplicació lineal.

2 Imatge i nucli d'una aplicació lineal. Teorema del rang.

3 Interpretació d'un sistema lineal en termes d'una aplicació lineal.

4 Anti-imatge d'un vector.

5 Vectors i valors propis d'una aplicació lineal. Polinomi característic.



4. Càlcul diferencial



Respecte a les funcions d'una variable real: Estudi de la continu√Įtat, estudi de la derivabilitat i c√†lcul de la recta tangent, c√†lcul del polinomi de Taylor, c√†lcul d'extrems relatius i absoluts.



1 Revisió de funcions elementals.

2 Continu√Įtat. Teoremes de Bolzano i Weierstrass.

3 Derivaci√≥. Interpretaci√≥ geom√®trica de la derivada. Regla de L'H√īpital.

4 El polinomi de Taylor. Residu. Aplicació a l'estudi local de funcions.

5 Extrems relatius i absoluts.



5. Càlcul integral



Càlcul de primitives per canvi de variables i per parts. Càlcul d'integrals de funcions racionals. Regla de Barrow.



1 Revisió de càlcul de primitives immediates. Canvis de variable i integració per parts.

2 Primitives de funcions racionals.

3 Integral definida com a àrea. La regla de Barrow.

4 Aplicacions al càlcul d'àrees i volums de revolució.