Àlgebra lineal

Temari

Espais vectorials



Cos. Espai vectorial. Combinació lineal. Vectors independents i generadors. Bases. Teorema de Steinitz. Dimensió. Coordenades. Canvis de base. Subespais. Intersecció, suma i suma directa. Fórmula de Grasmann.



Matrius, sistemes lineals i determinant



Operacions amb matrius. Matrius i transformacions elementals. Rang. Formes esglaonades. Sistemes lineals. Teorema de Rouché-Frobenius. Determinant. Propietats. Adjunts. Regla de laplace. Càlcul de la matriu inversa.



Aplicacions lineals



Aplicacions lineals. Nucli i imatge. Matriu d'una aplicació lineal. Canvi de base. Endomorfismes. Operacions amb aplicacions lineals i matrius. Espai dual. Base dual. Dual d'una aplicació lineal. Espai quocient i teorema d'isomorfisme.



Diagonalització



Vectors i valors propis. Subespais propis. Polinomi característic. Teorema de Cayley-Hamilton. Endomorfismes i matrius diagonalitzables. Introducció a la forma de Jordan.



Espai euclidià



Producte escalar. Desigualtat de Cauchy-Schwarz. Norma, distància i angle. Dualitat. Matriu d'un producte escalar. Ortogonalitat. Bases ortonormals. Mètode de Gram-Schmidt. Endomorfismes simètrics. Teorema espectral.