Àlgebra lineal numèrica

Temari

Introducció a la programació en Matlab



- Operacions aritmètiques i lògiques bàsiques, manipulació de vectors i matrius, operacions component a component, controladors de flux, eines per a la depuració de codi

- Eines per al dibuix de corbes i superfícies



Sistemes lineals d'equacions



- Conceptes bàsics (simetria, definició positiva, ortogonalitat)

- Sistemes amb solució immediata (matrius diagonals D i triangulars L, U)

- Mètodes d'eliminació gaussiana, aplicació al càlcul del determinant

- Mètodes de factorització: LU, Cholesky (LLT), versions generalitzades (LDU, LDLT)

- Esquemes d'emmagatzematge de matrius, emplenat i algoritmes de renumeració

- Condicionament d'un sistema lineal d'equacions. N√ļmero de condici√≥ d'una matriu

- Mètodes d'ortogonalització (QR), sistemes sobredeterminats

- Classificació general dels mètodes directes

- Exemples d'aplicació: xarxes (circuits elèctrics, de canonades,...); resolució numèrica d'equacions en derivades parcials (distribució de temperatures, càlcul estàtic de sistemes mecànics,...)



Errors



- Aritmètica exacta i aritmètica finita

- Error de truncament, error d'arrodoniment i error inherent

- Error absolut i error relatiu. Xifres significatives correctes

- Propagació d'errors. Condicionament d'un problema

- Desastres deguts a errors de càlcul

- Exemples d'aplicació: control de qualitat del resultat d'interès; determinació de la precisió necessària en mesures experimentals



Càlcul de vectors i valors propis



- Conceptes bàsics (problema estàndard i generalitzat, deflació, translació i quocient de Rayleigh)

- Mètodes de la potència (directa i inversa)

- Condicionament del problema de valors propis

- Exemples d'aplicaci√≥: modes propis i freq√ľ√®ncies pr√≤pies, resson√†ncia en mec√†nica i ac√ļstica, c√†rrega cr√≠tica de vinclament, equaci√≥ de Schr√∂dinger en mec√†nica qu√†ntica, valor propi dominant d'un graf i centralitat...



Interpolació polinòmica



- Plantejament general: criteri d'aproximació pura, interpolant polinòmic, espai vectorial, existència i unicitat del polinomi interpolador

- Base de polinomis de Lagrange, residu de Lagrange

- Diferències de Newton

- Exemples d'aplicació: ajust de dades discretes; integració i derivació numèrica,...

- Limitacions de la interpolació polinòmica (fenomen de Runge) i alternatives