Ampliació de matemàtiques

Temari

Integració en dues i tres dimensions

Integrals dobles. Canvis de variables (coordenades cartesianes i polars). Integrals triples. Canvis de variables (coordenades cartesianes, esfèriques i cilíndriques).

Integració sobre una corba

Expressió d'algunes corbes en coordenades cartesianes, paramètriques i polars. Camp escalar i camp vectorial. Integral sobre una corba d'una funció escalar. Integral sobre una corba d'una funció vectorial.

Integració sobre una superfície

Expressió d'algunes superfícies en coordenades cartesianes. Parametrització de superfícies. Àrea d'una superfície. Integral sobre una superfície d'una funció escalar. Integral sobre una superfície d'una funció vectorial.

Teoremes vectorials

Operador nabla. Gradient, rotacional i divergència. Teorema de Green: aplicació al càlcul d'àrees. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. Camps conservatius.

Sèries numèriques i sèries de Fourier

Introducció a les successions i sèries numèriques. Sèries harmòniques i geomètriques.



Sèrie de Fourier associada a una funció periòdica.Desenvolupament en sèrie de Fourier de funcions parelles i senars. Sèrie sinus i sèrie cosinus. Convergència puntual: Fenomen de Gibbs, convergència en mitjana quadràtica. Desigualtat de Bessel i identitat de Parseval. Forma complexa de les sèries de Fourier. Espectre de freqüència.

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier: definició i propietats. Càlcul de transformades. Propietats de la transformada d'una funció real. La identitat de Parseval i l'espectre d'energia. El teorema de convolució. Funcions generalitzades: Transformada de la funció esglaó, transformada d'un tren de deltes, convolució amb una delta i amb un tren de deltes. Relació entre la transformada de Fourier i la transformada de Laplace.