Càlcul infinitesimal

Temari

Estudi local de funcions reals d'una variable



Objectius

En aquest m√≤dul es pret√©n consolidar els fonaments del c√†lcul. Podem distingir dues parts totes dues relatives a funcions d'una variable: la continu√Įtat i la derivabilitat. L'objectiu √©s d'una banda, el coneixement exhaustiu de les funcions b√†siques i d'altra banda, saber recon√®ixer les propietats de qualsevol funci√≥ d'una variable i saber utilitzar-les en diverses aplicacions com ara resoluci√≥ de desigualtats, problemes d'optimitzaci√≥, etc.

Continguts

Nocions pr√®vies: conjunts num√®rics, intervals i funcions.Funcions b√†siques. Propietats i operacions.L√≠mits de funcions. Continu√Įtat i tipus de discontinu√Įtats.Teorema de Bolzano. Aplicacions, inequacions i valor absolut.Concepte de derivada: interpretaci√≥ geom√®trica, c√†lcul de la recta tangent en un punt.Teoremes de Rolle i valor mitj√†. Regla de l'H√īpital.Condici√≥ suficient de creixement i decreixement. Condici√≥ necess√†ria per a l'exist√®ncia d'extrems relatius.Teorema de Weierstrass. Extrems absoluts.Polinomi de Taylor. Aplicaci√≥ a l'estudi local de funcions.Concavitat, convexitat i punts d'inflexi√≥.Representaci√≥ gr√†fica d'una funci√≥.Problemes d'extrems condicionats.

Activitats, coneixements, habilitats, aptituds

Utilitzar la notaci√≥ matem√†tica relacionada amb funcions d'una variable: intervals, conjunts, pertinen√ßa, etc.Distingir els diferents tipus de funcions: acotades, creixents, decreixents, injectives, exhaustives, bijectives, etc.Con√®ixer de forma exhaustiva les funcions elementals.Calcular dominis i recorreguts.Recon√®ixer els diferents tipus de discontinu√Įtats.Calcular as√≠mptotes.Enunciar el Teorema de Bolzano. Aplicar-lo a la resoluci√≥ d'inequacions.Interpretar el concepte de derivada.Calcular intervals de creixement i decreixement.Calcular rectes tangents d'una funci√≥ en un punt.Enunciar el Teorema de Rolle. Aplicar-lo a problemes d'acotaci√≥ del nombre d'arrels d'una equaci√≥ o zeros d'una funci√≥.Enunciar el Teorema del valor mitj√†. Aplicar-lo al c√†lcul aproximat del valor d'una funci√≥ en un punt.T√®cniques de c√†lcul de l√≠mits segons el tipus d'indeterminaci√≥. Aplicaci√≥ de la regla de l'H√īpital.Distingir extrems relatius i absoluts i calcular-los.Calcular el polinomi de Taylor. Utilitazar-lo per aproximar funcions.Calcular intervals de concavitat, convexitat i punts d'inflexi√≥.Fer representacions gr√†fiques.Plantejar i resoldre problemes d'extrems condicionats.

Planificacio

Aquest mòdul és autocontingut, encara que se suposa que l'estudiant té un domini suficient de les tècniques bàsiques de derivació. Aquest mòdul és necessari pel seguiment dels altres.

Comentaris

Per aquest m√≤dul, es poden consultar els cap√≠tols:1,2,3,4 i 5 del llibre 'Problemas resueltos del c√†lculo de una variable' donat a la bibliografia b√†sica. √Čs un llibre de problemes resolts tot i que hi ha resums te√≤rics breus dels conceptes i resultats b√†sics que s'utilitzen.



Integració



Objectius

El mòdul té dues parts diferenciades, la connexió entre les quals sols es posa de manifest al presentar el Teorema Fonamental del Càlcul Integral, un dels resultats matemàtics de més aplicació. En la primera part s'ataca el problema del càlcul de primitives; es presenten les primitives elementals i les tècniques de canvi de variables i integració per parts, a més de certs tipus especials de primitives (racionals i trigonomètriques). A la segona part es presenta el problema del càlcul d'àrees de figures planes, la seva solució aproximada per rectangles i el salt al límit que permet definir la integral. S'en dedueixen les propietats més importants a partir del seu significat geomètric, incloent-hi alguns resultats importants com el teorema del valor mig, i es prepara el camí per introduir la integral indefinida. Es dedueixen les propietats fonamentals d'aquesta i es demostra el Teorema Fonamental, que redueix el càlcul d'integrals al de primitives. Finalment, es presenten algunes generalitzacions, com ara la integral impròpia i el càlcul de volums i moments d'inèrcia en casos amb prou simetria.

Continguts

Antiderivaci√≥: el c√†lcul de primitives. Primitives immediates i quasi-immediates.T√®cniques b√†siques: integraci√≥ per parts i canvi de variables.Funcions racionals: descomposici√≥ en fraccions simples.Primitives de certes combinacions de funcions trigonom√®triques.C√†lcul d'√†rees: aproximaci√≥ per rectangles i m√®todes num√®rics. Sumes de Riemann.Propietats b√†siques de la integral. El teorema del valor mig.La integral indefinida. Propietats b√†siques i continu√Įtat.Derivaci√≥ de la integral indefinida: el Teorema Fonamental del C√†lcul Integral.Regla de Barrow. T√®cniques de c√†lcul d'√†reas de figures planes. Especialitzaci√≥ de la Regla de Barrow a la integraci√≥ per parts i els canvis de variable.C√†lcul de volums de revoluci√≥ i altres aplicacions geom√®triques i f√≠siques.Integrals impr√≤pies.

Activitats, coneixements, habilitats, aptituds

Calcular primitives immediates.Calcular primitives quasi-immediates, completant derivades.Calcular primitives per integració per parts, reconeixent les diverses possibilitats i escollint la més simple.Calcular primitives mitjançant canvis de variable donats.Reconèixer el canvi de variable adient en casos senzills.Reduir funcions racionals a racionals pròpies i descomposar-les en fraccions simples.Calcular primitives de fraccions simples.Calcular primitives de combinacions especials de funcions trigonomètriques.Explicar el problema del càlcul d'àrees i la seva solució aproximada per rectangles.Calcular aproximacions numèriques a la integral, ajustant les particions segons el valor local de la variació i l'error desitjat.Aplicar les propietats fonamentals de la integral que es dedueixen a partir de la seva interpretació com a àrea.Demostrar les propietats bàsiques de la integral a partir de les propietats d'àrea.Distingir entre integrals, primitives i integrals indefinides.Enunciar el teorema fonamental del càlcul integral i la regla de Barrow.Transformar integrals aplicant canvis de variable donats i integracions per parts.Calcular àrees de regions planes complexes.Calcular volums de revolució.Cercar i formular problemes de l'àmbit de l'enginyeria que es puguin expressar com a integrals, reconeixent l'aparició de les sumes de Riemann corresponents.Reconèixer integrals impròpies.Calcular integrals impròpies com a límit d'integrals.

Planificacio

Aquest mòdul és bàsicament autocontingut, encara que se suposa que l'estudiant sap calcular derivades de funcions d'un nivell mitjà de complexitat (3 nivells de composició, per exemple).

Comentaris

Per aquest m√≤dul, es poden consultar els cap√≠tols:6, 7 i 8 del llibre 'Problemas resueltos del c√†lculo de una variable' donat a la bibliografia b√†sica. √Čs un llibre de problemes resolts tot i que hi ha resums te√≤rics breus dels conceptes i resultats b√†sics que s'utilitzen.



Funcions escalars de dues variables



Objectius

En aquest m√≤dul es comen√ßa l'estudi de les funcions de m√©s d'una variable, que en assignatures posteriors pot seguir amb la integraci√≥ m√ļltiple i sobre corbes i superf√≠cies. Encara que alguns resultats que es presenten s√≥n immediatament generalitzables a funcions de 3 o m√©s variables, per tal de poder emprar al m√†xim la visi√≥ geom√®trica la presentaci√≥ es fa per a funcions escalars de dues variables.

En acabar aquest mòdul l'estudiant haurà adquirit la capacitat per a emprar eficientment el concepte de gradient, i diverses tècniques de representació visual de funcions de dues variables.



Continguts

Funcions de v√†ries variables. Exemples f√≠sics.Funcions de dues variables: seccions i corbes de nivell.Subconjunts de R^2. C√†lcul de dominis.L√≠mits i continu√Įtat: l√≠mits per subconjunts i canvi a coordenades polars.Derivades parcials.Derivabilitat. Exist√®ncia i c√†lcul del pla tangent. Interpretaci√≥ i exemples.Vector gradient. Interpretaci√≥ geom√®trica i interpretacions f√≠siques.Derivades d'ordre superior.Polinomi de Taylor de segon ordre.

Activitats, coneixements, habilitats, aptituds

Enumerar diversos exemples f√≠sics, geom√®trics o enginyerils on s'utilitzen funcions de m√©s d'una variable.Construir una representaci√≥ esquem√†tica de funcions de dues variables emprant una o m√©s de les t√®cniques que es presenten.Calcular dominis de funcions de dues variables, tant escalars com vectorials.Calcular l√≠mits, o demostrar-ne la no exist√®ncia, de funcions de dues variables, emprant tant t√®cniques negatives (l√≠mits diferents sobre conjunts) com positives (coordenades polars).Explicar mitjan√ßant exemples el salt qualitatiu en complexitat al pasar d'una a dues variables, en refer√®ncia als l√≠mits i la continu√Įtat.Calcular derivades parcials en punts donats a partir de la definici√≥.Calcular derivades parcials emprant les t√®cniques de derivaci√≥ d'una variable.Recon√®ixer l'exist√®ncia o no del pla tangent a partir de la informaci√≥ disponible sobre les derivades parcials.Explicar mitjan√ßant exemples el salt qualitatiu en complexitat al pasar d'una a dues variables, en refer√®ncia a la derivabilitat.Calcular el pla tangent d'una funci√≥ de dues variables.Explicar el significat geom√®tric i el significat f√≠sic (depenent del context) del vector gradient.Calcular el vector gradient i emprar-lo per fer c√†lculs aproximats de variaci√≥.Calcular derivades parcials d'ordre superior.Calcular le polinomi de Taylor d'ordre 2 de funcions de dues variables.

Planificacio

Aquest mòdul requereix els coneixements i habilitats del mòdul 1.

Comentaris

La referència bàsica per a aquest mòdul és 'Funcions de diverses variables: curs bàsic'.